利用导数求代数式的最值

引言

先看这样一题：

函数$y=a^2+ab+b^2-a-2b$的最小值为_____。

题一

如果您按照常规配方法，会发现该代数式难以配方，或者即使成功配方，也无法求出最值（有三个平方项，却无法同时满足）。

这个时候就要用到主元配方法或“delta”法。

例如使用主元配方法：

$$y=(a+\frac{b-1}{2})^2+\frac{3}{4}(b-1)^2-1$$

经过一系列运算，就可以得到结论：当b=1，a=0是，函数有最小值-1。

有没有更快的方法？

问题就来了，如果按照主元配方法或者delta法，就需要大量的运算，慢，也难保证正确率。如果是下面这一题：

偏导数法

求偏导数，对于含有多个变量的求最值问题相当有用。

求导公式

我们称$y_x’$为关于$x$的导数。

对于任意的实数$n$，我们都可以得到$（ax^n）’=anx^{n-1}$。

相应的，如果我们设$h(n)$为$y$的第$i$项，$t(n)$为$n$的导数，那么$y_x’$就等于$\sum_{i=1}^{len(y)} t(h(i))$。

例如，关于x的导数$(6x^2+2kx-k)’=6x+2$。正如您所见，常数项视作0。

求解问题

下面再对题1进行求解。

分别对a，b进行求导得到方程组：

$$\begin{cases}a+1-1=0\\1+b-2=0\end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases}a=0\\b=1\end{cases}$$

故：当a=0，b=1时，函数有最小值，代入得$y_min=-1$。

总结

二元二次式的最值问题如果用常规配方法不能完成，还可以使用不等式法、主元法配方以及“delta”法。不等式法对于初中生而言知识储备不够，主元法配方和“delta”法太复杂，偏导数方程法的确是解决这类问题的最简方法。